Programme de mathématiques du bac pro : terminale professionnelle

Préambule commun aux enseignements de mathématiques et de physique-chimie pour les classes de première et terminale

Le préambule commun est identique à celui de la classe de première professionnelle (voir le fichier mathematiques-1ere-pro.md). Rappel des points structurants :

• Intentions majeures : formation intellectuelle, professionnelle et civique des élèves (élève sous statut scolaire, apprenti ou adulte en formation) ; préparation au baccalauréat professionnel dans la double perspective d'une insertion professionnelle et d'une poursuite d'études supérieures.
• Cinq compétences travaillées, communes aux mathématiques et à la physique-chimie : S'approprier ; Analyser, raisonner ; Réaliser ; Valider ; Communiquer.
• Lignes directrices : bivalence, maîtrise de la langue française, co-intervention avec l'enseignement professionnel, développement durable et transition écologique et énergétique, diversité des activités de l'élève, trace écrite, travail expérimental ou numérique, évaluation des acquis (évaluations courtes mais fréquentes).

Programme de mathématiques

Organisation du programme et groupements de spécialités

Le programme de mathématiques de la classe terminale est constitué des domaines de connaissances suivants : statistique et probabilités ; algèbre - analyse ; géométrie.

Pour les mathématiques, les spécialités de baccalauréat professionnel sont réparties en trois groupements A, B et C, conformément à la liste publiée et actualisée par le ministère (arrêté du 6 juin 2023 modifié fixant les groupements de mathématiques et de physique-chimie pour les spécialités de baccalauréat professionnel). Ce qui varie selon la spécialité suivie par l'élève :

• le module « Calculs commerciaux et financiers » (domaine Algèbre - Analyse) est uniquement au programme des spécialités ne comportant pas d'enseignement de physique-chimie ;
• le module « Vecteurs » (domaine Géométrie) est uniquement au programme des spécialités du groupement B ;
• le module « Trigonométrie » (domaine Géométrie) est uniquement au programme des spécialités du groupement A.

Tous les autres modules sont communs aux trois groupements. En complément, trois modules transversaux (Automatismes, Algorithmique et programmation, Vocabulaire ensembliste et logique) ne font pas l'objet de cours spécifiques mais sont travaillés lors de l'étude des différents domaines. Pour chaque module sont indiqués les objectifs, les liens avec la classe de première professionnelle, les capacités et connaissances exigibles et des exemples d'algorithmes ou d'activités numériques.

Des modules complémentaires en vue d'une préparation à une poursuite d'études sont abordés dans le cadre de l'accompagnement au choix d'orientation prévu dans la grille horaire ; ils sont transcrits en fin de document.

Statistique et probabilités

Objectifs principaux : consolider et approfondir les notions concernant les statistiques à deux variables et l'ajustement (affine ou non) ; consolider et approfondir la notion de probabilité conditionnelle ; introduire les arbres pondérés pour représenter une situation aléatoire ; exploiter les arbres pondérés pour calculer des probabilités ; introduire la notion d'indépendance. Les situations concrètes liées au changement climatique et au développement durable sont privilégiées, avec des données réelles.

Module : Statistiques à deux variables (groupements A, B et C)

Objectifs : approfondir la notion d'ajustement à partir de situations issues en particulier du domaine professionnel et de la vie économique et sociale, en tirant parti des outils numériques.

Capacités et connaissances :

• Capacités : À l'aide d'outils numériques : choisir un modèle adapté pour réaliser un ajustement d'un nuage de points associé à une série statistique à deux variables ; utiliser un ajustement pour interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues.
  • Connaissances : Ajustement d'un nuage de points associé à une série statistique à deux variables quantitatives.

Commentaires : les ajustements réalisés ne sont pas uniquement affines ; aucune justification théorique du modèle choisi n'est attendue. On propose des exemples où l'on se ramène à un ajustement affine après un changement de variable indiqué aux élèves (par exemple z = log(y), z = 1/x, z = √x), ce qui réinvestit les propriétés opératoires de la fonction logarithme décimal ou des fonctions exponentielles de base q. Bivalence : domaines Mécanique et Électricité du programme de physique-chimie.

Module : Probabilités (groupements A, B et C)

Objectifs : modéliser des situations aléatoires par des arbres de probabilités pondérés afin de déterminer des probabilités (domaines variés : économie, industrie, domaine médical, développement durable, changement climatique...). Les expériences aléatoires à plusieurs épreuves sont abordées et la notion d'indépendance est formalisée.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Représenter par un arbre de probabilités pondéré une situation aléatoire donnée. Exploiter la lecture d'un arbre de probabilités pondéré pour déterminer les probabilités des événements associés aux différents chemins. Dans des cas simples, calculer une probabilité à l'aide de la formule des probabilités totales. Montrer que deux événements sont indépendants.
  • Connaissances : Arbres de probabilités pondérés : nœud, branche, chemin. Probabilité conditionnée par un événement de probabilité non nulle. Règles de calculs des probabilités. Formule des probabilités totales. Indépendance de deux événements de probabilités non nulles : P(A ⋂ B) = P(A) × P(B).

Commentaires : les premiers arbres pondérés sont introduits à partir des tableaux croisés d'effectifs vus en classe de première, puis généralisés aux expériences aléatoires à plusieurs épreuves, indépendantes ou non. La formule des probabilités totales est systématiquement mise en relation avec un arbre et appliquée sans formalisme.

Algèbre - Analyse

Objectifs principaux : modéliser une situation ; résoudre des problèmes en choisissant une méthode adaptée ; découvrir et étudier un nouveau type de suites (suites géométriques) et de nouvelles fonctions (polynômes de degré 3, exponentielles de base q, logarithme décimal). Il s'agit d'éviter les excès de technicité liés aux calculs algébriques, à la résolution d'équations ou à la construction de courbes de fonctions non étudiées.

Module : Suites numériques (groupements A, B et C)

Objectifs : résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique, plus particulièrement par une suite géométrique. Les suites arithmétiques sont réinvesties en contexte.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Calculer un terme de rang donné d'une suite géométrique définie par son premier terme et par une relation de récurrence ou par l'expression du terme de rang n. Réaliser et exploiter une représentation graphique du nuage de points (n ; un) dans le cas où (un) est une suite géométrique. Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique à l'aide de sa raison q avec q > 0 et de son premier terme. Calculer la somme des n premiers termes d'une suite géométrique avec ou sans outils numériques.
  • Connaissances : Suites géométriques de raison strictement positive : définies par la relation un+1 = un × q et la donnée du premier terme ; expression du terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison ; sens de variation. Somme des n premiers termes d'une suite géométrique.

Commentaires : la connaissance de la formule donnant la somme des n premiers termes n'est pas exigée. Le lien entre les suites géométriques et les fonctions exponentielles est établi ; des exemples de modélisation d'une évolution à taux fixe peuvent être proposés.

Module : Fonctions polynômes de degré 3 (groupements A, B et C)

Objectifs : étudier la fonction cube et les fonctions polynômes de degré 3 en réinvestissant l'étude des variations à partir du signe de la dérivée et le signe d'un polynôme de degré 2.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Étudier la fonction cube : dérivée, variations, représentation graphique. Utiliser les formules et les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Dresser, à partir du signe de la dérivée, le tableau de variations d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Exploiter le tableau de variations d'une fonction polynôme ƒ de degré inférieur ou égal à 3 pour déterminer le nombre des solutions de l'équation ƒ(x) = c (c réel) et pour déterminer les éventuels extremums locaux de la fonction ƒ.
  • Connaissances : Fonction cube. Dérivée de la fonction cube. Fonction polynôme de degré 3.

Commentaires : la fonction cube permet de constater que l'annulation de la dérivée en un point ne suffit pas pour conclure à un extremum local. Lorsque la dérivée n'est pas facilement factorisable, l'outil numérique permet de déterminer ses racines éventuelles.

Module : Fonctions exponentielles et logarithme décimal (groupements A, B et C)

Objectifs : résoudre des problèmes concernant des phénomènes modélisables par la fonction logarithme décimal ou par une fonction exponentielle ; établir des liens avec les suites géométriques.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Représenter graphiquement les fonctions exponentielles de base q, définies sur un intervalle donné par x ↦ q^x (avec q réel strictement positif et différent de 1). Utiliser les propriétés opératoires des fonctions exponentielles étudiées pour transformer des écritures numériques ou littérales. Représenter graphiquement la fonction logarithme décimal sur un intervalle donné. Résoudre par le calcul, graphiquement, ou à l'aide d'outils numériques des équations du type q^x = a et log(x) = a ou des inéquations du type q^x ⩾ a (ou q^x ⩽ a) et log(x) ⩾ a (ou log(x) ⩽ a).
  • Connaissances : Fonctions exponentielles de base q et leurs variations. Propriétés opératoires des fonctions exponentielles étudiées. Fonction logarithme décimal x ↦ log(x), ses variations et ses propriétés opératoires. Résolution d'équations du type q^x = a et log(x) = a et d'inéquations associées.

Commentaires : le logarithme décimal de b (b strictement positif) est défini comme l'unique solution de l'équation 10^x = b ; l'identité log(10^x) = x se déduit de la définition. Selon les besoins, on peut utiliser du papier semi-logarithmique. Bivalence : domaines Chimie et Signaux du programme de physique-chimie.

Module : Calculs commerciaux et financiers (uniquement pour les spécialités ne comportant pas d'enseignement de physique-chimie)

Objectifs : réinvestir les suites arithmétiques ou géométriques, les fonctions exponentielles et la fonction logarithme décimal dans des situations mettant en œuvre des calculs commerciaux et financiers ; étudier le cas des intérêts composés.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Calculer le montant du capital obtenu après n périodes d'un placement à intérêts composés. Déterminer la durée n de placement d'un capital initial c0 à un taux t donné, pour obtenir un capital donné. Compléter un tableau d'amortissement. Calculer un taux mensuel équivalent à un taux annuel donné. Calculer un taux moyen.
  • Connaissances : Intérêts composés. Formule cn = c0 (1 + t)^n. Emprunt : remboursement par annuités constantes, remboursement par amortissement constant. Coût d'un emprunt. Taux mensuel, taux annuel, taux moyen.

Commentaires : la première ligne des tableaux d'amortissement proposés est fournie entièrement, la deuxième partiellement. L'enseignement de ce module se fait, dans la mesure du possible, en collaboration avec l'enseignement professionnel.

Géométrie

Le domaine se compose de deux modules : « Vecteurs » destiné aux spécialités du groupement B, « Trigonométrie » destiné aux spécialités du groupement A.

Module : Vecteurs (groupement B)

Objectifs : aborder le repérage et des notions vectorielles dans l'espace, en étendant sans formalisme les notions vues en classe de première concernant les vecteurs du plan.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Déterminer graphiquement les coordonnées d'un vecteur dans l'espace muni d'un repère orthonormé. Représenter, dans l'espace muni d'un repère orthonormé, un vecteur dont les coordonnées sont données. Calculer la norme d'un vecteur dans l'espace muni d'un repère orthonormé. Calculer les coordonnées du vecteur somme de deux vecteurs dans l'espace muni d'un repère orthonormé. Reconnaître, à l'aide de leurs coordonnées, des vecteurs égaux ou colinéaires dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
  • Connaissances : Dans l'espace muni d'un repère orthonormé : coordonnées cartésiennes d'un point ; coordonnées d'un vecteur. Norme d'un vecteur dans l'espace muni d'un repère orthonormé. Coordonnées du vecteur somme de deux vecteurs donnés. Coordonnées du produit d'un vecteur par un nombre réel.

Bivalence : domaines Mécanique et Électricité du programme de physique-chimie.

Module : Trigonométrie (groupement A)

Objectifs : résoudre certaines équations trigonométriques et découvrir un outil permettant d'ajouter ou de soustraire des tensions ou des intensités sinusoïdales de même fréquence. L'introduction s'appuie sur des exemples concrets issus du domaine professionnel ou de la physique ; le module se prête à des séances de co-intervention.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Établir des liens entre le vecteur de Fresnel d'une tension ou d'une intensité sinusoïdale de la forme a sin(ωt + φ) et la courbe représentative de la fonction qui à t associe a sin(ωt + φ). Résoudre les équations de la forme cos x = a, sin x = b sur l'intervalle ]-π ; π] et sin(ωt + φ) = c sur un intervalle approprié au contexte.
  • Connaissances : Représentation de Fresnel d'une grandeur sinusoïdale. Équations de la forme cos x = a, sin x = b et sin(ωt + φ) = c sur un intervalle donné.

Bivalence : domaine Électricité du programme de physique-chimie.

Algorithmique et programmation (groupements A, B et C)

Consolidation et approfondissement des notions travaillées en première (variables, instructions conditionnelles, boucles, fonctions, listes). Le langage utilisé est le langage Python, en continuité avec les classes de seconde et de première.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Analyser un problème. Décomposer un problème en sous-problèmes. Repérer les enchaînements logiques et les traduire en instructions conditionnelles et en boucles. Choisir ou reconnaître le type d'une variable. Réaliser un calcul à l'aide d'une ou de plusieurs variables. Modifier ou compléter un algorithme ou un programme. Concevoir un algorithme ou un programme simple. Comprendre et utiliser des fonctions. Compléter la définition d'une fonction. Structurer un programme en ayant recours à des fonctions. Générer une liste. Manipuler des éléments d'une liste (ajouter, supprimer, extraire...). Parcourir une liste. Itérer une ou plusieurs instructions sur les éléments d'une liste.
  • Connaissances : Séquences d'instructions, instructions conditionnelles, boucles bornées (for) et non bornées (while). Types de variables : entiers, flottants, chaînes de caractères, booléens. Affectation d'une variable. Arguments d'une fonction. Valeur(s) renvoyée(s) par une fonction. Liste.

Commentaires : notions travaillées en situation, sans cours spécifique ; accent sur la programmation modulaire ; listes générées en extension ou en compréhension ; se limiter aux listes sans présenter d'autres types de collections.

Automatismes (groupements A, B et C)

Entraînement régulier sur l'ensemble de l'année (activités rituelles, « questions flash »).

Liste non exhaustive : calcul de la probabilité d'un événement et de l'événement contraire Ā connaissant celle de A ; calcul de la probabilité de la réunion d'événements incompatibles puis de deux événements ; calcul de la probabilité de l'intersection de deux événements ; exploitation de représentations de données (tableaux croisés d'effectifs, diagrammes) ; calcul de probabilités conditionnelles ; calcul du terme de rang donné d'une suite arithmétique dont le premier terme et la raison sont donnés ; visualisation, à partir de la représentation graphique donnée d'une fonction polynôme ƒ de degré 2, du nombre possible de solutions de l'équation ƒ(x) = 0 ; écriture de la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 dont les racines et le coefficient dominant sont connus ; utilisation des formules et règles de dérivation pour déterminer la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 2 ; construction d'un vecteur du plan obtenu comme somme de deux vecteurs ou produit d'un vecteur par un nombre réel non nul (uniquement dans les classes préparant à un baccalauréat professionnel du groupement A ou du groupement B). Les automatismes des programmes de seconde et de première professionnelles continuent à être entretenus.

Vocabulaire ensembliste et logique (groupements A, B et C)

Contenu identique à celui des classes de seconde et de première : notions d'élément, de sous-ensemble, d'appartenance, d'inclusion, de réunion, d'intersection, de complémentaire ; symboles ∈, ⊂, ⋂, ⋃ ; intervalles ; couple ; notation Ā ; connecteurs « et », « ou » ; quantificateurs « quel que soit » et « il existe » (∀ et ∃ hors programme) ; implications, équivalences, réciproque, contre-exemple ; raisonnements par disjonction des cas et par l'absurde ; statut des lettres (variable, indéterminée, inconnue, paramètre).

Programme complémentaire en vue de la préparation à une poursuite d'études

Destiné à apporter des renforts notionnels aux élèves dans le cadre de l'accompagnement au choix d'orientation, en fonction de la poursuite d'études envisagée. Les modules à traiter sont déterminés en fonction du projet d'orientation de l'élève.

Module complémentaire : Calcul intégral

• Capacités : Déterminer les primitives des fonctions usuelles par lecture inverse d'un tableau des dérivées. Déterminer, avec ou sans outils numériques, les primitives d'une somme de fonctions, du produit d'une fonction par un réel. Calculer l'intégrale, sur un intervalle [a ; b], d'une fonction ƒ admettant une primitive F, avec ou sans outils numériques. Interpréter l'intégrale d'une fonction définie et positive sur un intervalle [a ; b] comme une aire.
  • Connaissances : Primitives d'une fonction sur un intervalle (F + k, k constante, est aussi une primitive de ƒ). Primitives d'une somme de fonctions, du produit d'une fonction par un réel. Définition de l'intégrale de ƒ sur [a ; b] : ∫ₐᵇ ƒ(x)dx = F(b) - F(a).

Commentaires : aucune virtuosité calculatoire imposée ; le calcul d'aire est plus spécifiquement destiné aux élèves choisissant une poursuite d'études dans le secteur industriel ; une approximation par la méthode des rectangles peut être obtenue avec les outils numériques.

Module complémentaire : Fonctions logarithme népérien et exponentielle

• Capacités : Étudier les variations et représenter graphiquement la fonction logarithme népérien sur un intervalle donné. Utiliser les propriétés opératoires de la fonction logarithme népérien. Passer de ln(x) = a à x = e^a et inversement (a réel, x réel strictement positif). Utiliser les propriétés opératoires de la fonction exponentielle. Étudier les variations et représenter graphiquement la fonction exponentielle sur ℝ.
  • Connaissances : Fonction logarithme népérien x ↦ ln(x). Définition du nombre e (unique solution de l'équation ln(x) = 1). Propriétés opératoires de la fonction logarithme népérien. Fonction exponentielle de base e et ses propriétés opératoires.

Commentaires : la fonction logarithme népérien est la fonction définie sur les réels strictement positifs, qui s'annule en 1 et dont la dérivée est la fonction inverse ; ses propriétés opératoires sont admises ; le lien est fait avec la fonction logarithme décimal et avec les fonctions x ↦ q^x.

Module complémentaire : Nombres complexes

• Capacités : Calculer et interpréter géométriquement dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct la partie réelle, la partie imaginaire, le conjugué, le module d'un nombre complexe et un argument d'un nombre complexe non nul. Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et réciproquement.
  • Connaissances : Forme algébrique : partie réelle, partie imaginaire, conjugué, module ; égalité de deux nombres complexes ; représentation dans le plan (affixe d'un point, d'un vecteur) ; somme, produit, quotient ; conjugué d'une somme, d'un produit, d'un quotient ; module d'un produit et d'un quotient. Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul.

Module complémentaire : Produit scalaire de deux vecteurs du plan rapporté à un repère orthonormé

• Capacités : Utiliser les trois expressions du produit scalaire de deux vecteurs pour déterminer des longueurs et des angles. Reconnaître des vecteurs orthogonaux à l'aide de leurs coordonnées dans un repère orthonormé.
  • Connaissances : Définition du produit scalaire de deux vecteurs du plan rapporté à un repère orthonormé (l'une des trois expressions sert de définition, les deux autres sont admises : expression avec les normes de u + v, u et v ; expression avec le cosinus de l'angle des deux vecteurs ; expression xx' + yy' avec les coordonnées). Propriétés : symétrie, bilinéarité. Vecteurs orthogonaux : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.