Programme de mathématiques du bac pro : seconde professionnelle

Préambule commun aux enseignements de mathématiques et de physique-chimie

Intentions majeures

La classe de seconde professionnelle permet aux élèves de consolider leur maîtrise du socle commun de connaissances, de compétences et de culture afin de réussir la transition du collège vers la voie professionnelle. Elle les prépare au cycle terminal dans l'objectif d'une insertion professionnelle ou d'une poursuite d'études supérieures réussie. (Le terme « élève » désigne l'ensemble des publics de la voie professionnelle : élève sous statut scolaire, apprenti ou adulte en formation.)

Le programme est conçu à partir des intentions suivantes :

• permettre à tous les élèves de consolider leurs acquis du collège ;
• former les élèves à l'activité mathématique et scientifique en poursuivant la pratique des démarches mathématique et scientifique commencées au collège ;
• fournir aux élèves des outils mathématiques et scientifiques utiles pour les enseignements généraux et professionnels ;
• assurer les bases mathématiques et scientifiques nécessaires à une poursuite d'études et à la formation tout au long de la vie ;
• participer au développement de compétences transversales qui contribuent à l'insertion sociale et professionnelle des élèves et qui leur permettent de devenir des citoyens éclairés et des professionnels capables de s'adapter à l'évolution des métiers liée à la transformation digitale ;
• contribuer à donner une culture scientifique et civique indispensable à une époque où la technologie et le numérique font partie intégrante de la vie quotidienne.

Compétences travaillées

Cinq compétences communes aux mathématiques et à la physique-chimie structurent la formation et l'évaluation (l'ordre de présentation ne prescrit pas l'ordre de mobilisation) :

• S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information ; traduire des informations, des codages.
• Analyser, raisonner : émettre des conjectures, formuler des hypothèses ; proposer une méthode de résolution ; choisir un modèle ou des lois pertinentes ; élaborer un algorithme ; choisir, élaborer un protocole ; évaluer des ordres de grandeur.
• Réaliser : mettre en œuvre les étapes d'une démarche ; utiliser un modèle ; représenter (tableau, graphique...), changer de registre ; calculer (calcul littéral, algébrique, numérique exact ou approché, instrumenté ou à la main) ; mettre en œuvre des algorithmes ; expérimenter à l'aide d'outils numériques ; faire une simulation.
• Valider : valider ou invalider un modèle, une hypothèse en argumentant ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; critiquer un résultat (signe, ordre de grandeur, identification des sources d'erreur) ; conduire un raisonnement logique (démontrer, prouver).
• Communiquer : à l'écrit comme à l'oral, rendre compte d'un résultat avec un vocabulaire adapté et des modes de représentation appropriés ; expliquer une démarche.

Lignes directrices pour l'enseignement

• La bivalence : il est souhaitable qu'un même professeur prenne en charge les mathématiques et la physique-chimie ; certaines notions mathématiques peuvent être introduites à partir de situations issues de la physique ou de la chimie.
• La co-intervention : le professeur de mathématiques ou de physique-chimie et celui de l'enseignement professionnel interviennent ensemble devant les élèves, à partir de situations problématisées issues du référentiel d'activités professionnelles.
• La maîtrise de la langue française, la diversité des activités de l'élève, la trace écrite, le travail expérimental ou numérique, l'évaluation des acquis : le programme insiste sur les travaux courts et fréquents, le travail de groupe, les rituels, l'analyse des erreurs et l'usage régulier des outils numériques (calculatrice, tableur, logiciel de géométrie dynamique, programmation).

Programme de mathématiques

Organisation du programme (programme commun à toutes les spécialités)

Le programme de mathématiques de la classe de seconde professionnelle est commun à l'ensemble des spécialités de baccalauréat professionnel : il n'y a pas de groupements de spécialités en classe de seconde (les groupements A, B et C n'interviennent qu'en classes de première et terminale). Une seule variation selon la spécialité : le module « Calculs commerciaux et financiers » ne concerne que les spécialités de baccalauréat professionnel ne comportant pas d'enseignement de physique-chimie.

Le programme est constitué des domaines de connaissances suivants : statistique et probabilités ; algèbre - analyse ; géométrie. Le domaine Statistique et probabilités se compose de deux modules, le domaine Algèbre - Analyse de trois modules et le domaine Géométrie d'un seul module. En complément, trois modules transversaux (Automatismes, Algorithmique et programmation, Vocabulaire ensembliste et logique) ne font pas l'objet de cours spécifiques mais sont travaillés lors de l'étude des différents domaines.

Pour chaque module sont indiqués les objectifs, les liens avec le cycle 4, les capacités et connaissances exigibles et des exemples d'algorithmes ou d'activités numériques. Les domaines du programme de physique-chimie qui nécessitent des capacités et connaissances de mathématiques sont indiqués dans la rubrique « Dans le cadre de la bivalence ».

Statistique et probabilités

Objectifs principaux : identifier, classer, hiérarchiser l'information ; exploiter et représenter des données ; interpréter un résultat statistique ; étudier des situations simples relevant des probabilités. Le calcul d'indicateurs, la construction et l'interprétation de graphiques ainsi que la simulation d'expériences aléatoires à l'aide d'outils numériques sont des passages obligés de la formation.

Module : Statistique à une variable

Objectifs : favoriser la prise d'initiative et la conduite de raisonnements pour interpréter, analyser ou comparer des séries statistiques, à partir de situations concrètes liées aux spécialités professionnelles ou à la vie courante (données réelles privilégiées, outils numériques nécessaires).

Liens avec le cycle 4 : recueillir, organiser, interpréter, représenter et traiter des données ; effectifs et fréquences ; moyenne, médiane et étendue. En seconde, découverte d'autres représentations et indicateurs et de la notion d'intervalle.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Recueillir et organiser des données statistiques. Organiser des données statistiques en choisissant un mode de représentation adapté à l'aide des fonctions statistiques d'une calculatrice ou d'un tableur. Extraire des informations d'une représentation d'une série statistique.
  • Connaissances : Regroupement par classes d'une série statistique. Représentation d'une série statistique par un diagramme en secteurs, en bâtons, en colonnes, à lignes brisées.
• Capacités : Comparer et interpréter des séries statistiques à l'aide d'indicateurs de position et de dispersion calculés avec les fonctions statistiques d'une calculatrice ou d'un tableur.
  • Connaissances : Indicateurs de position : mode, classe modale, moyenne, médiane, quartiles. Indicateurs de dispersion : étendue, écart type, écart interquartile Q3 - Q1.
• Capacités : Construire le diagramme en boîte à moustaches associé à une série statistique avec ou sans TIC. Comparer et interpréter des diagrammes en boîte à moustaches.
  • Connaissances : Diagrammes en boîte à moustaches.

Commentaires : les déciles et les centiles peuvent être présentés lorsque leur étude est pertinente pour la situation traitée.

Module : Fluctuations d'une fréquence selon les échantillons, probabilités

Objectifs : formaliser les notions élémentaires de probabilités abordées au cycle 4 et faire percevoir la loi des grands nombres de manière expérimentale, en s'appuyant sur des simulations informatiques. L'ensemble des issues est fini.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Expérimenter pour observer la fluctuation des fréquences (jets de dés, lancers de pièces de monnaie...).
  • Connaissances : Vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, ensemble des issues (univers), événement, probabilité.
• Capacités : Réaliser une simulation informatique, dans des cas simples, permettant la prise d'échantillons aléatoires de taille n fixée, extraits d'une population où la fréquence p relative à un caractère est connue. Déterminer l'étendue des fréquences, relatives à un caractère, de la série d'échantillons de taille n obtenus par expérience concrète ou simulation. Estimer la probabilité d'un événement à partir des fréquences.
  • Connaissances : Expérience aléatoire à deux issues. Échantillon aléatoire de taille n pour une expérience à deux issues (avec remise). Notion de tirage au hasard et avec remise. Fluctuation d'une fréquence relative à un caractère, sur des échantillons de taille n fixée. Stabilisation relative des fréquences vers la probabilité de l'événement quand n augmente.
• Capacités : Calculer la probabilité d'un événement dans le cas d'une situation aléatoire simple. Faire preuve d'esprit critique face à une situation aléatoire simple.
  • Connaissances : Dénombrements à l'aide de tableaux à double entrée ou d'arbres.

Algèbre - Analyse

Objectifs principaux : modéliser une situation ; résoudre des problèmes du premier degré en choisissant une méthode adaptée ; découvrir et étudier de nouvelles fonctions. La notion d'intervalle, présentée comme ensemble de nombres vérifiant des inégalités, est nouvelle ; elle est introduite lors du module « Résolution d'un problème du premier degré » ou du module « Fonctions ».

Module : Résolution d'un problème du premier degré

Capacités et connaissances :

• Capacités : Traduire un problème par une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue. Résoudre algébriquement, graphiquement sans ou avec outils numériques (grapheur, solveur, tableur) une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue. Choisir et mettre en œuvre une méthode de résolution adaptée au problème.
  • Connaissances : Équation du premier degré à une inconnue. Inéquation du premier degré à une inconnue. Intervalles de ℝ.

Commentaires : aucune virtuosité calculatoire n'est attendue pour la méthode algébrique. Bivalence : module mis en œuvre dans les domaines Mécanique et Électricité du programme de physique-chimie.

Module : Fonctions

Objectifs : consolider la notion de fonction ; exploiter les différents registres (algébrique, graphique) ; étudier des fonctions de référence (fonction carré) ; introduire l'étude des variations et les notions d'extremums ; modéliser des problèmes concrets. Les systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues sont introduits dans ce module (résolution graphique à l'aide d'outils numériques).

Capacités et connaissances :

• Capacités : Exploiter différents modes de représentation d'une fonction et passer de l'un à l'autre (expression, tableau de valeurs, courbe représentative). Identifier la variable ; déterminer l'image ou des antécédents éventuels d'un nombre par une fonction définie sur un ensemble donné. Reconnaître une situation de proportionnalité et déterminer la fonction linéaire qui la modélise.
  • Connaissances : Modes de représentation d'une fonction. Variable, fonction, image, antécédent et notation ƒ(x). Intervalles de ℝ. Fonctions linéaires.
• Capacités : Relier courbe représentative et tableau de variations d'une fonction. Déterminer graphiquement les extremums d'une fonction sur un intervalle. Exploiter l'équation y = ƒ(x) d'une courbe : vérifier l'appartenance d'un point à une courbe, calculer les coordonnées d'un point de la courbe.
  • Connaissances : Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle. Tableau de variations. Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle. Courbe représentative d'une fonction ƒ : ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient y = ƒ(x).
• Capacités : Représenter graphiquement une fonction affine. Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. Déterminer graphiquement le coefficient directeur d'une droite non verticale. Faire le lien entre coefficient directeur et pente dans un repère orthonormé. Reconnaître que deux droites d'équations données sont parallèles. Résoudre graphiquement, ou à l'aide d'outils numériques, un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.
  • Connaissances : Fonction affine : courbe représentative ; coefficient directeur et ordonnée à l'origine ; équation réduite d'une droite ; sens de variation en fonction du coefficient directeur ; coefficient directeur interprété comme taux d'accroissement. Système de deux équations du premier degré à deux inconnues.
• Capacités : Construire la parabole représentant la fonction carré et donner son tableau de variations. Déduire de la courbe représentative d'une fonction ƒ sur un intervalle donné celle de la fonction x ↦ ƒ(x) + k (k réel donné). Déduire de la courbe de la fonction carré l'allure de celle de la fonction x ↦ kx². Déduire des variations d'une fonction ƒ celles de la fonction kƒ. Dans le cadre de problèmes modélisés par des fonctions, résoudre par une méthode algébrique ou graphique une équation du type ƒ(x) = c ou une inéquation du type ƒ(x) < c (ƒ fonction affine ou du type x ↦ kx², c réel donné).
  • Connaissances : Courbe représentative de la fonction carré. Sens de variation de la fonction carré. Résolution algébrique ou graphique.

Commentaires : les fonctions cube, racine carrée, inverse ou trigonométriques peuvent être évoquées lors de la résolution de problèmes en lien avec le domaine professionnel. Les droites d'équation x = a ne sont pas un attendu du programme. Bivalence : module mis en œuvre dans les domaines Chimie, Thermique, Mécanique, Électricité et Optique du programme de physique-chimie.

Module : Calculs commerciaux et financiers (uniquement pour les spécialités ne comportant pas d'enseignement de physique-chimie)

Capacités et connaissances :

• Capacités : Compléter une facture, un bon de commande, réaliser un devis en déterminant dans le cadre de situations professionnelles : un prix, un coût, une marge, une taxe, une réduction commerciale (remise, rabais, ristourne), un taux.
  • Connaissances : Pourcentages. Coefficients multiplicateurs.
• Capacités : Calculer le montant d'un intérêt simple et d'une valeur acquise. Déterminer graphiquement ou par le calcul un taux annuel de placement, la durée de placement (exprimée en jours, quinzaines, mois ou années), le montant du capital placé.
  • Connaissances : Capital, taux, intérêt, valeur acquise.

Commentaires : retrouver le montant du capital placé à partir de la valeur acquise, du taux annuel et de la durée de placement n'est pas un attendu de certification. Ce module se prête à des séances de co-intervention (logiciels métiers).

Géométrie (un seul module)

Objectifs : mobiliser les configurations du plan et les connaissances sur les solides de l'espace étudiés au collège pour résoudre des problèmes, développer la vision dans l'espace et réactiver les propriétés de géométrie plane. L'utilisation des théorèmes et des formules de calcul de longueurs, d'aires et de volumes permet de remobiliser les connaissances sur les quotients, les racines carrées, les valeurs exactes et arrondies en situation.

Capacités et connaissances :

• Capacités : Reconnaître, nommer un solide usuel. Nommer les solides usuels constituant d'autres solides. Calculer des longueurs, des mesures d'angles, des aires et des volumes dans les figures ou solides (les formules pour la pyramide, le cône et la boule sont fournies).
  • Connaissances : Solides usuels : le cube, le pavé droit, la pyramide, le cylindre droit, le cône, la boule. Figures planes usuelles : triangle, quadrilatère, cercle. Le théorème de Pythagore et sa réciproque. Le théorème de Thalès dans le triangle. Formule du périmètre d'un cercle. Somme des mesures, en degré, des angles d'un triangle. Formules de l'aire d'un triangle, d'un carré, d'un rectangle, d'un disque. Formules du volume du cube, du pavé droit et du cylindre.
• Capacités : Déterminer les effets d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes.
  • Connaissances : Grandeurs proportionnelles.

Bivalence : module mis en œuvre dans les domaines Mécanique et Optique du programme de physique-chimie.

Algorithmique et programmation (module transversal)

En seconde, les élèves passent progressivement du langage de programmation visuel utilisé dans les classes antérieures au langage interprété Python, choisi pour sa concision, sa simplicité et son utilisation dans l'enseignement supérieur. On ne vise pas la maîtrise d'un langage ni une virtuosité technique ; la programmation est un outil au service de la pensée algorithmique. L'accent est mis sur la programmation modulaire (décomposer une tâche complexe en tâches plus simples à l'aide de fonctions informatiques).

Capacités et connaissances :

• Capacités : Analyser un problème. Décomposer un problème en sous-problèmes. Repérer les enchaînements logiques et les traduire en instructions conditionnelles et en boucles. Choisir ou reconnaître le type d'une variable. Réaliser un calcul à l'aide d'une ou de plusieurs variables. Modifier ou compléter un algorithme ou un programme. Concevoir un algorithme ou un programme simple pour résoudre un problème. Comprendre et utiliser des fonctions. Compléter la définition d'une fonction. Structurer un programme en ayant recours à des fonctions.
  • Connaissances : Séquences d'instructions, instructions conditionnelles, boucles bornées (for) et non bornées (while). Types de variables : entiers, flottants, chaînes de caractères, booléens. Affectation d'une variable. Arguments d'une fonction. Valeur(s) renvoyée(s) par une fonction.

Commentaires : les notions ne font pas l'objet d'un cours spécifique et sont travaillées en situation. Pour les fonctions en Python, on donne aux élèves l'entête de la fonction (nom et arguments).

Automatismes (module transversal)

Cette partie du programme vise à construire et entretenir des aptitudes dans les domaines du calcul, des grandeurs et mesures et de la géométrie, par un entraînement régulier sur l'ensemble de l'année (rituels de début de séance, « questions flash »).

Liste non exhaustive d'automatismes à travailler : calcul d'une fréquence ; utilisation des pourcentages ; passage écriture décimale ou fractionnaire / pourcentage ; calcul d'une moyenne ; calculs avec les puissances de 10 ; notation scientifique ; comparaison de fractions simples ; addition et multiplication de fractions ; développement, factorisation, réduction d'expressions littérales ; transformation de formules (par exemple U = RI, d = vt) ; résolution d'équations du type ax = b et a + x = b (a et b entiers relatifs) ; calcul d'une quatrième proportionnelle ; application et calcul d'un pourcentage ou d'une échelle ; repérage dans un plan rapporté à un repère orthogonal ; recherche d'image et d'antécédents ; résolution graphique d'équations ; conversions d'unités de longueur, d'aire et de volume ; reconnaissance des configurations de Pythagore et de Thalès ; détermination d'un arrondi, d'une valeur approchée ; expression d'un résultat dans une unité adaptée ; vérification de la cohérence grandeur - unité ; calcul de l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un disque.

Vocabulaire ensembliste et logique (module transversal)

Apprentissage transversal aux trois années de formation. Les élèves doivent connaître les notions d'élément d'un ensemble, de sous-ensemble, d'appartenance et d'inclusion, de réunion, d'intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles ∈, ⊂, ⋂, ⋃ ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles du type [a ; b], ]a ; b[, [a ; b[, ]a ; b]. Ils rencontrent la notion de couple.

Pour le complémentaire d'un sous-ensemble A de E, on utilise la notation des probabilités Ā.

En logique, les élèves rencontrent sur des exemples : les connecteurs « et », « ou » ; les quantificateurs « quel que soit » et « il existe » (les symboles ∀ et ∃ sont hors programme) ; des implications et équivalences ; la réciproque d'une implication ; l'utilisation d'un contre-exemple ; des raisonnements par disjonction de cas et par l'absurde. Ils distinguent les utilisations du symbole « = » (égalité, identité, équation) et le statut des lettres (variable, indéterminée, inconnue, paramètre).