Préambule commun aux enseignements de mathématiques et de physique-chimie pour les classes de première et terminale
Intentions majeures
L'enseignement de mathématiques et de physique-chimie en classes de première et terminale de la voie professionnelle concourt à la formation intellectuelle, professionnelle et civique des élèves (le terme « élève » désigne l'ensemble des publics de la voie professionnelle : élève sous statut scolaire, apprenti ou adulte en formation). Il les prépare au baccalauréat professionnel dans l'objectif d'une insertion professionnelle ou d'une poursuite d'études supérieures réussies.
Le programme vise notamment à élargir les acquis dans les domaines des mathématiques et de la physique-chimie, à approfondir la pratique des démarches mathématique et expérimentale, à fournir des outils utiles aux enseignements généraux et professionnels, à assurer les bases indispensables à la formation tout au long de la vie et à une éventuelle poursuite d'études, et à développer des compétences transversales (citoyens éclairés, adaptation à la transformation digitale, contraintes énergétiques et environnementales).
Compétences travaillées
Cinq compétences communes aux mathématiques et à la physique-chimie structurent la formation et l'évaluation : S'approprier (rechercher, extraire et organiser l'information ; traduire des informations, des codages) ; Analyser, raisonner (émettre des conjectures, proposer une méthode de résolution, choisir un modèle ou des lois pertinentes, élaborer un algorithme, évaluer des ordres de grandeur) ; Réaliser (mettre en œuvre les étapes d'une démarche, utiliser un modèle, représenter, calculer, mettre en œuvre un algorithme, expérimenter à l'aide d'outils numériques, faire une simulation) ; Valider (valider ou invalider un modèle ou une hypothèse en argumentant, contrôler la vraisemblance d'une conjecture, critiquer un résultat, conduire un raisonnement logique) ; Communiquer (rendre compte d'un résultat à l'écrit comme à l'oral, expliquer une démarche).
Lignes directrices pour l'enseignement
Bivalence (un même professeur pour les mathématiques et la physique-chimie est souhaitable), maîtrise de la langue française, co-intervention avec le professeur d'enseignement professionnel à partir du référentiel d'activités professionnelles, développement durable et transition écologique et énergétique (les activités ou projets associant mathématiques, physique-chimie et enseignement professionnel, notamment la co-intervention et le chef-d'œuvre, sont des moments privilégiés), diversité des activités de l'élève, trace écrite courte et fonctionnelle, travail expérimental ou numérique, évaluation des acquis diversifiée avec des évaluations courtes mais fréquentes.
Programme de mathématiques
Organisation du programme et groupements de spécialités
Le programme de mathématiques de la classe de première professionnelle est constitué des domaines de connaissances suivants : statistique et probabilités ; algèbre - analyse ; géométrie.
Pour les mathématiques, les spécialités de baccalauréat professionnel sont réparties en trois groupements, A, B et C, conformément à la liste publiée et actualisée par le ministère (arrêté du 6 juin 2023 modifié fixant les groupements de mathématiques et de physique-chimie pour les spécialités de baccalauréat professionnel). Ce qui varie selon la spécialité de baccalauréat professionnel suivie par l'élève :
- le module « Calculs commerciaux et financiers » (domaine Algèbre - Analyse) est uniquement au programme des spécialités ne comportant pas d'enseignement de physique-chimie ;
- les modules « Vecteurs du plan » et « Trigonométrie » (domaine Géométrie) sont uniquement au programme des spécialités des groupements A et B.
Tous les autres modules sont communs aux trois groupements. En complément des domaines de connaissances, trois modules transversaux (Automatismes, Algorithmique et programmation, Vocabulaire ensembliste et logique) ne doivent pas faire l'objet de cours spécifiques mais sont travaillés lors de l'étude des différents domaines. Pour chaque module sont indiqués les objectifs, les liens avec la classe de seconde professionnelle, les capacités et connaissances exigibles et des exemples d'algorithmes ou d'activités numériques. La rubrique « Dans le cadre de la bivalence » indique les domaines du programme de physique-chimie qui mobilisent le module.
Statistique et probabilités
Ce domaine fournit des outils pour comprendre des informations chiffrées et faire des prévisions. Objectifs principaux : aborder la statistique à deux variables et l'ajustement affine ; modéliser une expérience aléatoire et calculer des probabilités ; découvrir la notion de conditionnement à partir de tableaux croisés d'effectifs ou de fréquences.
Module : Statistique à deux variables quantitatives (groupements A, B et C)
Objectifs : déterminer, à l'aide d'outils numériques, une équation d'une droite d'ajustement d'un nuage de points associé à une série statistique à deux variables quantitatives et l'utiliser pour interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues ; évaluer la pertinence d'un ajustement affine à l'aide du coefficient de détermination ; distinguer corrélation et causalité.
Capacités et connaissances :
- Capacités : Représenter graphiquement à l'aide d'outils numériques un nuage de points associé à une série statistique à deux variables quantitatives. Réaliser un ajustement affine, à l'aide des outils numériques. Déterminer l'équation réduite d'une droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés, à l'aide d'outils numériques. Interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues. Déterminer le coefficient de détermination d'une série statistique à deux variables quantitatives à l'aide d'outils numériques. Évaluer la pertinence d'un ajustement affine.
- Connaissances : Nuage de points associé à une série statistique à deux variables quantitatives. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Coefficient de détermination R².
Commentaires : aucune théorie n'est attendue sur ces coefficients ; un coefficient de détermination proche de 1 signifie une forte corrélation, ce qui ne signifie pas nécessairement une relation de causalité (à montrer sur au moins un exemple). Bivalence : domaines Mécanique et Électricité du programme de physique-chimie.
Module : Probabilités (groupements A, B et C)
Objectifs : aborder la modélisation probabiliste dans le cas d'un univers fini en mobilisant le vocabulaire ensembliste ; organiser des données sous forme de tableaux croisés d'effectifs ou de fréquences ; introduire les probabilités conditionnelles à partir des fréquences conditionnelles.
Capacités et connaissances :
- Capacités : Calculer la probabilité d'un événement par addition des probabilités d'événements élémentaires. Calculer la probabilité d'un événement contraire et de la réunion d'événements incompatibles. Compléter ou exploiter des représentations : tableaux croisés d'effectifs, diagrammes. Calculer la probabilité de la réunion, de l'intersection de deux événements. Utiliser la relation P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) - P(A ⋂ B). Calculer des fréquences conditionnelles à partir de tableaux croisés d'effectifs. Déterminer une probabilité conditionnelle.
- Connaissances : Probabilité d'un événement dans un univers fini (événements élémentaires équiprobables ou non équiprobables). Événements incompatibles, événements contraires. Probabilité de l'événement contraire Ā d'un événement A. Réunion et intersection d'événements. Fréquence conditionnelle. Probabilité conditionnelle : PA(B) = P(A ⋂ B) / P(A), où A et B sont deux événements avec P(A) ≠ 0.
Commentaires : la représentation à l'aide d'un arbre de probabilités pondéré et la formule des probabilités totales ne relèvent pas du programme de la classe de première ; elles sont abordées en classe terminale.
Algèbre - Analyse
Objectifs principaux : modéliser une situation à l'aide de suites numériques (phénomène discret) ou de fonctions (phénomène continu) ; découvrir et étudier de nouvelles fonctions ; découvrir la dérivation et étudier les variations de fonctions ; résoudre des problèmes en choisissant une méthode adaptée.
Module : Suites numériques (groupements A, B et C)
Objectifs : résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique, plus particulièrement par une suite arithmétique.
Capacités et connaissances :
- Capacités : Générer par le calcul ou à l'aide d'un outil numérique les termes de différentes suites. Étudier le sens de variation d'une suite donnée par un = ƒ(n) dans des cas simples. Calculer un terme de rang donné d'une suite arithmétique définie par son premier terme et par une relation de récurrence ou par l'expression du terme de rang n. Réaliser et exploiter une représentation graphique du nuage de points (n ; un) dans le cas où (un) est une suite arithmétique. Reconnaître les premiers termes d'une suite arithmétique. Déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique à l'aide de sa raison. Calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique avec ou sans outils numériques.
- Connaissances : Suites numériques (un) : notation indicielle du terme de rang n ; un = ƒ(n) où ƒ est une fonction. Sens de variation d'une suite numérique. Suites arithmétiques : définition par la relation un+1 = un + r et la donnée du premier terme ; expression du terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison ; lien avec les fonctions affines ; sens de variation. Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique.
Commentaires : l'étude des suites définies par une relation de récurrence autres que les suites arithmétiques n'est pas au programme. La connaissance de la formule donnant la somme des n premiers termes n'est pas exigée. La notation Σ peut être introduite en vue d'une poursuite d'études.
Module : Résolution graphique d'équations et d'inéquations (groupements A, B et C)
Capacités et connaissances :
- Capacités : Résoudre graphiquement ou à l'aide d'un outil numérique des équations de la forme ƒ(x) = g(x) et des inéquations de la forme ƒ(x) ⩾ g(x) où ƒ et g sont des fonctions (représentations graphiques fournies ou obtenues à l'aide des outils numériques). Déterminer par balayage un encadrement ou une valeur approchée d'une solution lorsqu'on sait qu'elle existe dans un intervalle donné.
- Connaissances : Résolution graphique d'équations de la forme ƒ(x) = g(x). Résolution graphique d'inéquations de la forme ƒ(x) ⩾ g(x).
Bivalence : domaines Électricité, Thermique et Mécanique du programme de physique-chimie.
Module : Fonctions polynômes de degré 2 (groupements A, B et C)
Objectifs : découvrir les fonctions polynômes de degré 2 à coefficients réels et étudier le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée.
Capacités et connaissances :
- Capacités : Visualiser, à partir de la représentation graphique d'une fonction polynôme ƒ de degré 2, le nombre possible de solution(s) de l'équation ƒ(x) = 0. Donner l'allure de la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 donnée sous forme factorisée. Associer une parabole à une expression algébrique de degré 2 donnée. Tester si un nombre réel est racine d'un polynôme de degré 2. Factoriser un polynôme de degré 2 donné dont les racines réelles sont connues. Déterminer les racines et le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée. Déterminer la deuxième solution d'une équation du second degré possédant deux solutions dont une est connue.
- Connaissances : Fonction polynôme de degré 2 à coefficients réels. Nombre de solutions réelles de l'équation ƒ(x) = 0. Représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 donnée sous la forme a(x - x1)(x - x2). Éléments caractéristiques : signe de a, sommet, ordonnée à l'origine, axe de symétrie. Racine réelle d'un polynôme de degré 2. Racine(s) et signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée.
Commentaires : le calcul des racines à l'aide du discriminant ne figure pas au programme. Dans les autres situations, une valeur approchée des solutions peut être obtenue à l'aide d'un solveur ou d'un script informatique. Bivalence : domaine Électricité du programme de physique-chimie.
Module : Fonction dérivée et étude des variations d'une fonction (groupements A, B et C)
Objectifs : introduire la notion de nombre dérivé d'une fonction en un point et celle de fonction dérivée ; étudier les variations d'une fonction dérivable à partir du signe de sa fonction dérivée. Nouvelles fonctions étudiées : fonction inverse, fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2.
Capacités et connaissances :
- Capacités : Construire en un point la tangente à la courbe représentative d'une fonction ƒ à l'aide d'outils numériques. Déterminer, par une lecture graphique, lorsqu'il existe, le nombre dérivé d'une fonction ƒ en l'abscisse d'un point de la courbe. Construire en un point la tangente à la courbe connaissant le nombre dérivé en ce point. Écrire l'équation réduite de la tangente à une courbe en un point lorsqu'elle existe.
- Connaissances : Sécantes à une courbe passant par un point. Tangente à une courbe en un point. Nombre dérivé. Équation réduite de la tangente à une courbe en un point.
- Capacités : Utiliser les formules et les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Étudier, sur un intervalle donné, les variations d'une fonction à partir du calcul et de l'étude du signe de sa dérivée. Dresser son tableau de variations. Déterminer un extremum d'une fonction sur un intervalle donné à partir de son sens de variation. Dresser le tableau de variations d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Étudier la fonction inverse : dérivée, variations, représentation graphique ; dresser son tableau de variations.
- Connaissances : Fonction dérivée d'une fonction dérivable sur un intervalle. Notation ƒ'. Fonctions dérivées des fonctions affines et carré. Règles de dérivation : dérivée du produit d'une fonction dérivable par une constante, dérivée de la somme de deux fonctions dérivables. Lien entre signe de la dérivée sur un intervalle et sens de variation de la fonction sur cet intervalle. Extremum d'une fonction sur un intervalle donné. Extremum local et extremum global. Fonction inverse.
Commentaires : le nombre dérivé et la tangente sont introduits avec un logiciel de géométrie dynamique (tangente comme position « limite des sécantes »). Les théorèmes liant sens de variation et signe de la dérivée sont admis à partir de conjectures. Bivalence : domaines Mécanique et Signaux du programme de physique-chimie.
Module : Calculs commerciaux et financiers (uniquement pour les spécialités ne comportant pas d'enseignement de physique-chimie)
Objectifs : réinvestir, dans des situations de calculs commerciaux et financiers, les capacités et connaissances concernant les suites arithmétiques, la dérivation et la fonction inverse.
Capacités et connaissances :
- Capacités : Calculer le montant d'un capital disponible après n périodes de placement à intérêt simple. Déterminer un taux. Calculer un coût total de production, un résultat, un coût marginal. Calculer un coût moyen unitaire.
- Connaissances : Intérêts simples. Taux annuel, mensuel, par quinzaine, journalier. Coût total de production. Résultat. Coût marginal (Cm(x) = C(x + 1) - C(x), approché par C'(x) pour des productions importantes). Coût moyen unitaire.
Géométrie
En classe de première, les élèves approfondissent leurs connaissances géométriques de l'espace, découvrent les vecteurs du plan (groupements A et B) et la fonction sinus introduite grâce au cercle trigonométrique (groupements A et B).
Module : Géométrie dans l'espace (groupements A, B et C)
Capacités et connaissances :
- Capacités : Représenter un solide usuel à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique ou d'un logiciel métier. Exploiter une représentation d'un solide usuel ou d'un solide constitué d'un assemblage de solides usuels. En utilisant un logiciel de géométrie dynamique ou un logiciel métier : réaliser la section d'un solide usuel par un plan ; construire la section plane d'un solide passant par des points donnés.
- Connaissances : Solides usuels : le cube, le pavé droit, la pyramide, le cylindre droit, le cône, la boule. Section d'un solide par un plan.
Bivalence : domaine Mécanique du programme de physique-chimie.
Module : Vecteurs du plan (groupements A et B)
Capacités et connaissances :
- Capacités : Construire un représentant d'un vecteur non nul à partir de ses caractéristiques. Reconnaître graphiquement des vecteurs égaux, des vecteurs opposés, des vecteurs colinéaires. Construire le vecteur obtenu comme somme de deux vecteurs ou comme produit d'un vecteur par un nombre réel non nul. Déterminer graphiquement les coordonnées d'un vecteur dans le plan rapporté à un repère orthogonal. Représenter un vecteur dont les coordonnées sont données. Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant les coordonnées des extrémités d'un de ses représentants. Calculer les coordonnées du vecteur somme de deux vecteurs et du vecteur produit d'un vecteur par un nombre réel. Reconnaître, à l'aide de leurs coordonnées, des vecteurs égaux, des vecteurs colinéaires. Calculer la norme d'un vecteur dans le plan muni d'un repère orthonormé.
- Connaissances : Représentants d'un vecteur. Éléments caractéristiques d'un vecteur non nul : direction, sens et norme (ou longueur). Vecteurs égaux, vecteurs opposés, vecteurs colinéaires, vecteur nul. Somme de deux vecteurs. Produit d'un vecteur par un nombre réel. Coordonnées d'un vecteur dans le plan rapporté à un repère orthogonal. Coordonnées du vecteur AB. Coordonnées du vecteur somme et du vecteur produit par un nombre réel. Coordonnées de vecteurs égaux, colinéaires. Expression de la norme d'un vecteur dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Commentaires : le lien entre produit d'un vecteur par un réel et colinéarité est établi, ainsi que le lien entre vecteurs égaux et parallélogramme. Occasion d'étudier la nature de figures usuelles, l'alignement de trois points, le parallélisme de deux droites. Bivalence : domaines Mécanique et Électricité du programme de physique-chimie.
Module : Trigonométrie (groupements A et B)
Objectifs : découvrir des outils permettant de modéliser des phénomènes périodiques ; étudier la fonction sinus dont la courbe est construite point par point par enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique ; introduire le radian. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct.
Capacités et connaissances :
- Capacités : Placer, sur le cercle trigonométrique, le point M image d'un nombre réel x donné par enroulement de la droite des réels. Placer les points images des réels -x, π - x, π + x, π/2 - x, π/2 + x connaissant le point image du réel x. Effectuer des conversions de degrés en radians et de radians en degrés. Déterminer graphiquement, à l'aide du cercle trigonométrique, le cosinus et le sinus d'un nombre réel donné. Utiliser le cercle trigonométrique pour écrire les cosinus et sinus des réels associés en fonction des cosinus et sinus du réel x. Construire point par point la représentation graphique de la fonction sinus. Exploiter la représentation graphique de la fonction sinus. Construire la courbe représentative de la fonction cosinus par translation à partir de celle de la fonction sinus en utilisant l'identité cos x = sin(x + π/2).
- Connaissances : Cercle trigonométrique. Radian. Angles supplémentaires, complémentaires, opposés. Proportionnalité entre la mesure en degrés d'un angle géométrique et sa mesure principale en radians (une mesure de l'angle plat est π radians). Cosinus et sinus d'un nombre réel ; valeurs particulières pour 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π. Propriétés : -1 ⩽ cos x ⩽ 1 ; -1 ⩽ sin x ⩽ 1 ; cos²x + sin²x = 1. Courbe représentative de la fonction sinus. Périodicité de la fonction sinus. Courbe représentative de la fonction cosinus.
Bivalence : domaines Mécanique et Électricité du programme de physique-chimie.
Algorithmique et programmation (groupements A, B et C)
Consolidation et approfondissement de l'algorithmique et de la programmation. La seule nouveauté par rapport à la classe de seconde est la notion de liste. Le langage utilisé est le langage Python, en continuité avec la classe de seconde.
Capacités et connaissances :
- Capacités : Analyser un problème. Décomposer un problème en sous-problèmes. Repérer les enchaînements logiques et les traduire en instructions conditionnelles et en boucles. Choisir ou reconnaître le type d'une variable. Réaliser un calcul à l'aide d'une ou de plusieurs variables. Modifier ou compléter un algorithme ou un programme. Concevoir un algorithme ou un programme simple. Comprendre et utiliser des fonctions. Compléter la définition d'une fonction. Structurer un programme en ayant recours à des fonctions. Générer une liste. Manipuler des éléments d'une liste (ajouter, supprimer, extraire...). Parcourir une liste. Itérer une ou plusieurs instructions sur les éléments d'une liste.
- Connaissances : Séquences d'instructions, instructions conditionnelles, boucles bornées (for) et non bornées (while). Types de variables : entiers, flottants, chaînes de caractères, booléens. Affectation d'une variable. Arguments d'une fonction. Valeur(s) renvoyée(s) par une fonction. Liste.
Commentaires : notions travaillées en situation, sans cours spécifique. Programmation modulaire. Listes générées en extension, par ajouts successifs d'éléments et en compréhension ; il est recommandé de se limiter aux listes sans présenter d'autres types de collections.
Automatismes (groupements A, B et C)
Entraînement régulier sur l'ensemble de l'année (activités rituelles, « questions flash »), sans chapitre d'enseignement spécifique.
Liste non exhaustive : calcul de la probabilité d'un événement dans le cas d'une situation aléatoire simple ; dénombrements à l'aide de tableaux à double entrée ou d'arbres donnés ; lecture d'un graphique ou d'un diagramme (y compris en boîte à moustaches) ; association d'un graphique avec des données ; calcul d'indicateurs de position ou de dispersion à l'aide d'outils numériques ; résolution algébrique d'équations et d'inéquations du premier degré du type ax + b = c et ax + b < c (a, b, c entiers relatifs) ; reconnaissance d'une situation de proportionnalité et détermination de la fonction linéaire qui la modélise ; reconnaissance de l'allure d'une représentation graphique à partir d'un tableau de variations ; établissement du tableau de variations d'une fonction dont la courbe est donnée ; détermination graphique des extremums globaux d'une fonction sur un intervalle ; calcul de l'ordonnée d'un point d'une courbe ; détermination graphique du coefficient directeur d'une droite non verticale ; reconnaissance du parallélisme de deux droites d'équations réduites données ; résolution graphique d'une équation du type ƒ(x) = c ou d'une inéquation du type ƒ(x) < c ; calcul du montant d'un intérêt simple et d'une valeur acquise (uniquement dans les classes de baccalauréat professionnel n'ayant pas d'enseignement de physique-chimie) ; distinction entre cercle, disque, sphère et boule ; reconnaissance des solides usuels ; calcul de l'aire d'un triangle, d'un carré, d'un rectangle, d'un disque ; calcul du volume d'un cube, d'un pavé droit et d'un cylindre ; factorisation de x² - a² ; développement de a(x + b) et de (x + a)(x + b). Les automatismes du programme de seconde professionnelle continuent à être entretenus.
Vocabulaire ensembliste et logique (groupements A, B et C)
Apprentissage transversal aux trois années de formation. Notions d'élément d'un ensemble, de sous-ensemble, d'appartenance et d'inclusion, de réunion, d'intersection et de complémentaire ; symboles ∈, ⊂, ⋂, ⋃ ; notation des ensembles de nombres et des intervalles du type [a ; b], ]a ; b[, [a ; b[, ]a ; b] ; notion de couple ; notation Ā pour le complémentaire.
En logique, à la faveur d'exemples : connecteurs « et », « ou » ; quantificateurs « quel que soit » et « il existe » (les symboles ∀ et ∃ sont hors programme) ; implications et équivalences ; réciproque d'une implication ; contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ; raisonnements par disjonction des cas et par l'absurde. Distinction des utilisations du symbole = (égalité, identité, équation) et du statut des lettres (variable, indéterminée, inconnue, paramètre).